O Plano Cartesiano foi criado pelo matemático René Descartes (1596-1650). Como ele associava a geometria à álgebra, esta foi a forma que ele criou para representar graficamente expressões algébricas. A sua utilização mais simples é a de representar graficamente a localização de pontos em um determinado plano. Através dele também podemos representar um segmento de reta ou um triângulo, por exemplo.
Quando estudamos o plano cartesiano vimos também o conceito de par ordenado. Agora com base nestes conceitos estudaremos o produto cartesiano.
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B são todos os pares ordenados (x, y), sendo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.
Vamos tomar como exemplo os seguintes conjuntos A e B:
A = {1, 2, 3} B = {2, 4, 6}
O produto cartesiano de A por B, representado por é igual a:
AxB = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6)}
Note que segundo a definição de produto cartesiano, todos os elementos de são pares ordenados em que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo ao conjunto B.
Representação em um Diagrama de Flechas
Representação no Plano Cartesiano
O plano cartesiano é composto de duas retas perpendiculares (90°) e orientadas, uma horizontal e outra vertical. Damos no nome de eixo x ou eixo das abscissas à reta horizontal. À vertical denominamos de eixo y ou eixo das ordenadas.
Veja que graficamente localizamos no plano cartesiano todos os nove elementos de:
Os elementos de A e B estão representados respectivamente nos eixos x e y.
Finalmente também podemos representar por:
AxB = {(x, y) | x Î A e y Î B}
A cartesiano B é o conjunto dos pares ordenados (x, y), tal que x pertence a A e y pertence a B.
Representação de Pontos no Plano
A representação de pontos neste plano é feita por meio de pares ordenados, onde o primeiro número se refere à abscissa e o segundo a ordenada.
O ponto P1(3, 2) tem abscissa 3 e ordenada 2, no qual o símbolo (3, 2) representa um par ordenado.
O ponto P2(2, 3) tem abscissa 2 e ordenada 3.
É importante frisarmos que os pontos P1 e P2 são pontos distintos, pois em um par ordenado a ordem dos números é relevante.
Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d.
Ao ponto localizado no cruzamento de ambos os eixos damos o nome de origem do sistema de coordenadas cartesianas, representado por O (0, 0).
Os quadrantes são dispostos em sentido anti-horário.
Sinal da Abscissa e da Ordenada de um Ponto. Todos os pontos no primeiro quadrante possuem abscissa e ordenada positivas. Exemplo: P1(3, 5).
No segundo quadrantes todos os pontos possuem abscissa negativa e ordenada positiva.
Exemplo: P2(-4, 2).
Todos os pontos no terceiro quadrante possuem abscissa e ordenada negativas. Exemplo: P3(-7, -1).