Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, ..., ou seja: N = {0; 1; 2; 3; ...}.

São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero.

Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}

Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja, N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.

Observações:

• Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
• Isto é fato, pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
• Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Em N a subtração não é considerada uma operação, pois se a N o simétrico -a não existe em N.

Em ℕ é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais resultam sempre em um número natural. Já a divisão ou subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural; a subtração 2-3, por exemplo, não é possível em ℕ. Daí a necessidade de ampliar o conjunto ℕ introduzindo os números negativos.

Números Inteiros

 

São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z:

Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

• Inteiros não negativos: São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z₊:

Z₊ = {0,1,2,3,4,5,6, …}

• Inteiros não positivos: São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z_-:

Z_- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

• Inteiros não negativos e não-nulos: É o conjunto Z₊ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*₊:

Z*₊ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Z*₊ = N*

• Inteiros não positivos e não nulos: São todos os números do conjunto Z_- excluindo o zero. Representa-se por Z*_-.

Z*_- = {… -4, -3, -2, -1}]

Geometricamente temos:

Observe que há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é -3, oposto ou simétrico de -3 é o 3, valendo 3+(-3)=-3+3 = 0. Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último.

É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (-).

Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+).

Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: "Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos".

No conjunto ℤ, sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre um número inteiro. E todas as propriedades das operações em ℕ continuam válidas em ℤ. Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro:

(-8) : (+2)=-4 ® é possível em ℤ.

(-7) : (+2)=? ® não é possível em ℤ.

Daí a necessidade de ampliar o conjunto ℤ.

Números Racionais

Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas periódicas.

Os racionais são representados pela letra Q.

Perceba que a restrição bÎℤ*, nos obriga a termos b¹0, pois, a divisão de a por b, só tem significado com b¹0. A designação racional surgiu porque b pode ser visto como uma razão entre os inteiros a e b.

A letra ℚ, que representa o conjunto dos números racionais, é a primeira letra da palavra quociente. Os números racionais podem ser encontrados de três maneiras: número inteiro ou número decimal exato ou número decimal periódico (dízimas periódicas).

Representação geométrica de alguns racionais:

 

Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q.

Valem também para os conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q₊ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q_- (conjunto dos números racionais não positivos).

Números Reais

O conjunto dos números reais, representado por IR, é a união entre os conjuntos dos números racionais, Q, e dos irracionais.

Observamos que a cada ponto da reta podemos fazer corresponder um número real, e a todo número real podemos fazer corresponder um ponto da reta. Assim:

"Número real é todo número racional ou irracional."

Pode-se estabelecer certa ordem entre os subconjuntos de ℝ, uma ordem determinada por relações de inclusão entre os conjuntos numéricos.

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos, números reais.

IR₊ = conjunto dos números reais não negativos;

IR- = conjunto dos números reais positivos.

Números Irracionais

É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos.

O número irracional é aquele que não admite a representação em forma de fração (contrário dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal ele é um número infinito e não periódico.

Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265….

Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …).

Exemplos:

• Se calcularmos em uma calculadora veremos que √2, √3, π são valores que representam números irracionais.

A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.