O próximo número da P.G. é o número atual multiplicado por q.

Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...), onde a razão é 2

A razão pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações). Para descobrir qual a razão de uma PG, basta escolher qualquer número da seqüência, e dividir pelo número anterior.

 

FÓRMULA DO TERMO GERAL

A seguinte fórmula pode ser utilizada para encontrar qualquer valor de uma seqüência em progressão geométrica:

a_n = a₁ . q^{(n - 1)}

onde a é um termo, então a₁ refere-se ao primeiro termo. No lugar de n colocamos o número do termo que queremos encontrar.

Exemplo:

q = 2

a₁ = 5

para descobrir, por exemplo, o termo a₁₂, faremos:

a₁₂ = 5 . 2 ^{(12 - 1)}

a₁₂ = 5 . 2¹¹

a₁₂ = 5 . 2048 = 10240

 

CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G.

As PG's podem ser divididas em quatro tipos, de acordo com o valor da razão:

 

• Oscilante (q<0)

Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que fará com que a seqüência numérica seja composta de números negativos e positivos, se intercalando.

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde a razão é -2

 

• Crescente (q > 0)

Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a seqüência será formada por números crescentes, como:

(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde a razão é 3.

 

• Constante

Nesta PG, a seqüência numérica tem sempre os mesmos números, podendo ter a exceção do primeiro. Para isso, a razão deve ser sempre 0 ou 1:

(4, 0, 0,0,0,0,0,0,0, ...) onde a razão é 0
(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...) onde a razão é 1

 

• Decrescente

As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números da seqüência são sempre menores do que o número anterior:

(64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, ..) razão = 1/2
(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde a razão é 3 (observe que na PG crescente temos um exemplo com a mesma razão, porém o número inicial aqui é negativo, alterando toda a seqüência).

 

Exemplos:

Para obter os termos da PG = {3, 9, 27, 81}, devemos obter a razão desta PG e como esta é obtida pela divisão do termo posterior pelo termo anterior, temos que q = 9/3 = 3. Como a₁=3 e n=4, substituímos os dados na formula da soma dos termos de uma PG finita, obtemos:

S₄ = 3. (3⁴-1)/(3-1) = 3(81-1)/2= 3 × 80/2 = 120

Para obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PG cuja razão é q = 1 e a₁ = 2, podemos identificar a PG com o conjunto X = {2, 2, 2, 2, 2}. Como a razão da PG é q = 1, temos que a soma dos seus termos é obtida por S₅ = 2 × 5 = 10.